追記

他の人の回答を見ていたんだけど、

n段目にいる人が生還する確率をPnと置く

ほうが素直ですね。

そんで、

Pn = 1/2 * P(n+1) + 1/2 * P(n-1)

とすると。

ここからのとき方はいろいろあるだろうけど、辺々2倍して変形すると

P(n+1) - Pn = Pn - P(n-1)

なんだ等差数列じゃん、となる。

なんにせよ、5段目にいる人が生還する確率というのを、「初期状態に5段目にいる」ことにこだわりすぎるとよくなくて、

完全ランダムなんだから、最初だろうが途中だろうが条件はまったく一緒と考えないといけない。(マルコフ連鎖?)

そう考えれば、無限なんて関係なくなる。いつでもPnはPnのまま。